تحلیل تکینگی و قضیه هیروناکا

چندگوناها که اشیای اصلی مورد مطالعه در هندسه? جبری هستند گاها دارای تکینگی هستند. از دید هندسی یک نقطه، تکین است اگر بعد فضای مماس در آن نقطه با بعد چندگونا برابر نباشد. وجود تکینگی معمولا خوشایند نیست، بنابراین یکی از پرسش هایی که در هندسه? جبری اهمیت دارد یافتن یک چندگونای جدید بدون تکینگی است که تا حد امکان به چندگونای قبلی شبیه باشد. منظور از شباهت، یکریخت بودن زیرمجموعه ی باز چگالی از آنها با یکدیگر است، هر چند که وابسته به کاربرد ممکن است شرایط دیگری را نیز به تعریف شباهت بیافزاییم. این پرسش زمانی که مشخصه? میدان پس زمینه صفر باشد حل شده است که به قضیه? هیروناکا معروف شده است. ویلامایر بعدها این قضیه را با روشی مشابه به روش هیروناکا اما با کمک ناوردایی دیگر دوباره اثبات می کند. هر دو روش جبری اند و حلقه های موضعی نقش مهمی در این داستان دارند. تابع هیلبرت-سامویلِ یک حلقه? موضعی را می توان به شکل یک دنباله از اعداد طبیعی دید اما چندگانگیِ یک حلقه ی موضعی تنها یک عدد طبیعی است. هیروناکا از توابع هیلبرت-سامویل و ویلامایر از چندگانگی استفاده می کند. همین نکته برتری اثبات ویلامایر را نشان می دهد. به عنوان نمونه برای محاسبه? چندگونای ناتکین به روش دوم حافظه? کمتری استفاده می شود.